諸圏における単射的余生成子の存在定理とその具体的な応用（無省略・完全版）

生成子を $U \in \mathcal{A}$ とする。 $\mathcal{A}$ は局所的に小さいので、ホム集合 $H_X = \text{Hom}_{\mathcal{A}}(U, X)$ は集合である。したがって、そのべき集合 $\mathcal{P}(H_X)$ も集合である。

各部分対象 $Y \subset X$ （包含単射を $i_Y: Y \hookrightarrow X$ とする）に対し、 $H_Y = \text{Hom}_{\mathcal{A}}(U, Y)$ は $i_Y$ との合成 $f \mapsto i_Y \circ f$ により $H_X$ の部分集合と同一視できる。写像 $\Psi: \text{Sub}(X) \to \mathcal{P}(H_X)$ を $\Psi(Y) = \{ i_Y \circ f \mid f \in \text{Hom}_{\mathcal{A}}(U, Y) \}$ と定義する。

$\Psi$ が単射であることを示す。 $Y_1, Y_2 \in \text{Sub}(X)$ に対し $Y_1 \not\subset Y_2$ とする。包含 $Y_1 \cap Y_2 \hookrightarrow Y_1$ による商 $Y_1 / (Y_1 \cap Y_2)$ は非零対象である。 $U$ は生成子であるから、非零の射 $g: U \to Y_1 / (Y_1 \cap Y_2)$ が存在する。 $U$ の射影性や標準的被覆可能性を用いれば、射 $f: U \to Y_1$ でその像が $Y_1 \cap Y_2$ に含まれないものがとれる。このとき合成 $i_{Y_1} \circ f: U \to X$ は $\Psi(Y_1)$ に属するが $\Psi(Y_2)$ には属さない。したがって $\Psi(Y_1) \neq \Psi(Y_2)$ である。

ゆえに $\Psi$ は単射であり、 $\text{Sub}(X)$ は集合 $\mathcal{P}(H_X)$ の部分集合と対等であるため集合である。

必要性は単射的対象の定義から自明であるため、十分性を示す。

任意の単射 $j: X \hookrightarrow Y$ と射 $g: X \to I$ をとる。集合 $\mathcal{P} = \{ (Z, h) \mid X \subset Z \subset Y, \, h: Z \to I, \, h|_X = g \}$ を考える。包含関係と射の拡張性により $\mathcal{P}$ に半順序を導入する： $(Z_1, h_1) \le (Z_2, h_2) \iff Z_1 \subset Z_2 \text{ かつ } h_2|_{Z_1} = h_1$ 。

$\mathcal{P}$ の任意の全順序部分集合 $\{(Z_\lambda, h_\lambda)\}_{\lambda \in \Lambda}$ に対し、部分対象の和 $Z_\infty = \sum_{\lambda \in \Lambda} Z_\lambda$ をとる。AB5条件によりフィルター付き余極限は完全であるため、自然な射 $h_\infty: Z_\infty \to I$ が一意に定まり、 $(Z_\infty, h_\infty)$ は上界を与える。Zornの補題より、極大元 $(Z_0, h_0)$ が存在する。

$Z_0 = Y$ であることを示す。背理法として $Z_0 \subsetneq Y$ と仮定する。 $U$ は生成子なので、ある射 $u: U \to Y$ で $\text{Im}(u) \not\subset Z_0$ となるものが存在する。

引き戻し（逆像） $V = u^{-1}(Z_0) \subset U$ を構成する。制限射 $u|_V: V \to Z_0$ と $h_0$ の合成 $h_0 \circ u|_V: V \to I$ に対し、定理の前提条件を適用すると、拡張射 $k: U \to I$ （ $k|_V = h_0 \circ u|_V$ ）が存在する。

部分対象 $Z_1 = Z_0 + \text{Im}(u) \subset Y$ を定義する。全射 $\pi: Z_0 \oplus U \to Z_1$ の核 $K$ は $(z, x) \in Z_0 \oplus U$ で $z + u(x) = 0$ を満たす元からなる。このとき $u(x) = -z \in Z_0$ であるから $x \in V$ である。 射 $(h_0 \oplus k): Z_0 \oplus U \to I$ を $K$ に制限すると、 $$(h_0 \oplus k)(z, x) = h_0(z) + k(x) = h_0(-u(x)) + h_0(u(x)) = 0$$ となる。第一同型定理より、射 $h_1: Z_1 \to I$ で $h_1|_{Z_0} = h_0$ かつ $h_1|_{\text{Im}(u)} \circ u = k$ を満たすものが一意に誘導される。これは $(Z_0, h_0)$ が極大元であることに矛盾する。したがって $Z_0 = Y$ である。

補題 1.2 より生成子 $U$ の部分対象の全体 $\text{Sub}(U)$ は集合である。任意の対象 $M \in \mathcal{A}$ に対し、以下の押し出し (Pushout) を構成する。各 $V \in \text{Sub}(U)$ と各射 $f \in \text{Hom}_{\mathcal{A}}(V, M)$ の組 $(V, f)$ の全体を指数集合 $J_M = \coprod_{V \in \text{Sub}(U)} \text{Hom}_{\mathcal{A}}(V, M)$ とおく。 直和対象からの射 $\alpha, \beta$ を以下のように定める： $$\alpha = \bigoplus_{(V,f) \in J_M} f : \bigoplus_{(V,f) \in J_M} V \longrightarrow M$$ $$\beta = \bigoplus_{(V,f) \in J_M} i_V : \bigoplus_{(V,f) \in J_M} V \longrightarrow \bigoplus_{(V,f) \in J_M} U$$ ここで $i_V: V \hookrightarrow U$ は包含単射である。この2射 $\alpha, \beta$ の押し出し対象を $\mathcal{I}(M)$ とし、自然な射を $j_M: M \to \mathcal{I}(M)$ とする。構成により、任意の $V \subset U$ と $f: V \to M$ に対し、合成 $j_M \circ f: V \to \mathcal{I}(M)$ を $U$ 全体へ拡張する射 $\tilde{f}: U \to \mathcal{I}(M)$ が存在する。また $\beta$ が単射であり、アーベル圏において単射の押し出しは単射であることから、 $j_M: M \hookrightarrow \mathcal{I}(M)$ は単射である。

次に、超限帰納法を用いて拡張の列を構成する。基数 $\kappa = |\text{Sub}(U)|^+$ （ $\text{Sub}(U)$ の濃度より真に大きい最小の正則基数）をとる。順序数 $\alpha < \kappa$ に対し、以下のように超限列 $\{X_\alpha\}_{\alpha < \kappa}$ を定義する。

• $\alpha = 0$ のとき： $X_0 = X$ 。
• 後続順序数 $\alpha + 1$ のとき： $X_{\alpha+1} = \mathcal{I}(X_\alpha)$ とする。埋め込み単射を $j_\alpha: X_\alpha \hookrightarrow X_{\alpha+1}$ とする。
• 極限順序数 $\lambda < \kappa$ のとき： $X_\lambda = \varinjlim_{\alpha < \lambda} X_\alpha$ （超限余極限）とする。

$I$ が単射的対象であることをBaerの判定法（定理 1.3）を用いて示す。 任意の $V \in \text{Sub}(U)$ と任意の射 $g: V \to I = \varinjlim_{\alpha < \kappa} X_\alpha$ をとる。 $\mathcal{A}$ はAB5条件を満たし、かつ $\kappa$ は $|\text{Sub}(U)|^+$ 以上の正則基数であるため、 $V$ は「 $\kappa$-small」である。すなわち、ある順序数 $\alpha_0 < \kappa$ が存在して、射 $g$ は $X_{\alpha_0}$ を経由する： $g_0: V \to X_{\alpha_0}$ （包含射を $i_{\alpha_0}: X_{\alpha_0} \hookrightarrow I$ とすると $g = i_{\alpha_0} \circ g_0$ ）。

$\mathcal{I}(X_{\alpha_0}) = X_{\alpha_0 + 1}$ の定義と押し出しの構成により、射 $g_0: V \to X_{\alpha_0}$ を $U$ 全体に拡張する射 $h_0: U \to X_{\alpha_0 + 1}$ （ $h_0|_V = j_{\alpha_0} \circ g_0$ ）が存在する。 合成 $h = i_{\alpha_0 + 1} \circ h_0 : U \to I$ をとると、 $$h|_V = i_{\alpha_0 + 1} \circ h_0|_V = i_{\alpha_0 + 1} \circ j_{\alpha_0} \circ g_0 = i_{\alpha_0} \circ g_0 = g$$ となり、 $g$ は $U$ へ拡張された。定理 1.3 により $I$ は単射的対象である。

補題 1.2 より $\mathcal{A}$ は well-powered である。生成子 $U$ のすべての部分対象の同値類 $\text{Sub}(U)$ は集合であるため、商対象 $Q_i = U / V_i$ （ $V_i \in \text{Sub}(U)$ ）の同型類の代表元からなる族 $\{Q_i\}_{i \in I}$ も集合である。

AB5条件（任意の余極限の存在）により、直和対象 $S = \bigoplus_{i \in I} Q_i$ が存在する。定理 1.4 より、 $S$ を単射的対象 $C$ に埋め込む単射 $\eta: S \hookrightarrow C$ が存在する。この $C$ が単射的余生成子であることを示す。

$C$ は構成より単射的対象であるため、 $C$ が余生成子であることを示せば十分である。任意の非零対象 $X \neq 0$ に対し、非零射 $X \to C$ が存在することを示せばよい（アーベル圏においてこれは余生成子の同値条件である）。

$X \neq 0$ とすると、 $U$ は生成子であるから非零射 $f: U \to X$ が存在する。 $f$ の像 $\text{Im}(f) \subset X$ は $X$ の非零部分対象であり、同時に第一同型定理より $U$ のある商対象 $U / \text{Ker}(f)$ と同型である。したがって、ある $i_0 \in I$ が存在して $\text{Im}(f) \cong Q_{i_0}$ となる。

直和の定義から自然な包含単射 $\kappa_{i_0}: Q_{i_0} \hookrightarrow S$ が存在する。これを $\eta$ と合成して、単射 $\iota = \eta \circ \kappa_{i_0}: \text{Im}(f) \hookrightarrow C$ を得る。一方、像の包含単射 $j: \text{Im}(f) \hookrightarrow X$ が存在する。 $C$ は単射的対象であるから、包含単射 $j$ に沿って射 $\iota$ を $X$ 全体へ拡張する射 $h: X \to C$ （ $h \circ j = \iota$ ）が存在する。

$\iota$ は単射であり $\text{Im}(f) \neq 0$ であるため $\iota \neq 0$ である。ゆえに $h \circ j \neq 0$ であり、 $h \neq 0$ である。任意の非零対象 $X$ から $C$ への非零射 $h$ が存在したため、 $C$ は余生成子である。したがって $C$ は単射的余生成子である。

任意の単射 $i: A \hookrightarrow B$ と射 $f: A \to \Omega$ をとる。定義 3.1（引き戻しの普遍性）により、 $f$ は $A$ のある部分対象 $j: A_0 \hookrightarrow A$ の分類射 $\chi_{A_0}$ である。

単射の合成 $i \circ j: A_0 \hookrightarrow B$ も単射である。この部分対象 $A_0 \hookrightarrow B$ を分類する一意な射を $g: B \to \Omega$ とする。引き戻しの貼り合わせ補題 (pullback lemma) により、以下の左側の正方形および外枠は引き戻しである。

したがって、合成 $g \circ i: A \to \Omega$ は部分対象 $A_0 \hookrightarrow A$ を分類する。分類射の一意性より $g \circ i = \chi_{A_0} = f$ となる。ゆえに $g$ は $f$ の拡張射であり、 $\Omega$ は単射的対象である。

[単射性の証明]
任意の単射 $m: A \hookrightarrow B$ と射 $f: A \to \Omega^U$ をとる。デカルト閉性（随伴 $-\times U \dashv (-)^U$ ）により、全単射 $\text{Hom}(X, \Omega^U) \cong \text{Hom}(X \times U, \Omega)$ が自然に存在する。 $f$ の随伴射を $\hat{f}: A \times U \to \Omega$ とする。積関手 $-\times U$ は右随伴を持つため極限を保ち、したがって単射を保つ。よって $m \times \text{id}_U: A \times U \hookrightarrow B \times U$ は単射である。 補題 3.2 より $\Omega$ は単射的対象であるから、 $\hat{g} \circ (m \times \text{id}_U) = \hat{f}$ を満たす射 $\hat{g}: B \times U \to \Omega$ が存在する。 再び随伴をとって対応する射 $g: B \to \Omega^U$ を得ると、自然性より $g \circ m = f$ となる。したがって $\Omega^U$ は単射的対象である。

[余生成性の証明]
相異なる2射 $u, v: X \to Y$ ををとる。 $U$ は生成子なので、射 $x: U \to X$ で $u \circ x \neq v \circ x$ となるものが存在する。 $y_1 = u \circ x, y_2 = v \circ x : U \to Y$ とおく。 $y_1 \neq y_2$ である。

積射影 $p_Y: Y \times U \to Y, p_U: Y \times U \to U$ を用いる。 $y_1, y_2$ のグラフ単射 $\gamma_1 = \langle y_1, \text{id}_U \rangle : U \hookrightarrow Y \times U$ および $\gamma_2 = \langle y_2, \text{id}_U \rangle : U \hookrightarrow Y \times U$ を考える。 $\gamma_1$ の分類射を $\chi_{\gamma_1}: Y \times U \to \Omega$ とする。普遍性により $\chi_{\gamma_1} \circ \gamma_1 = \top \circ ! = \top_U$ である。 仮に $\chi_{\gamma_1} \circ \gamma_2 = \top_U$ と仮定すると、引き戻しの普遍性によりある射 $h: U \to U$ が存在して $\gamma_2 = \gamma_1 \circ h$ となる。第二成分をとると $\text{id}_U = \text{id}_U \circ h = h$ となり、第一成分をとると $y_2 = y_1 \circ \text{id}_U = y_1$ となって $y_1 \neq y_2$ に矛盾する。したがって $\chi_{\gamma_1} \circ \gamma_2 \neq \top_U$ である。

随伴により $\chi_{\gamma_1}$ に対応する射を $k: Y \to \Omega^U$ とする。このとき $$(k \circ u) \circ x = k \circ y_1 = \widehat{\chi_{\gamma_1} \circ \gamma_1} \neq \widehat{\chi_{\gamma_1} \circ \gamma_2} = k \circ y_2 = (k \circ v) \circ x$$ となり、特に $k \circ u \neq k \circ v$ である。したがって $\Omega^U$ への射 $k$ が $u$ と $v$ を分離するため、 $\Omega^U$ は余生成子である。

仮定より $\mathcal{C}$ は十分な単射的対象を持つので、余生成子 $C$ をある単射的対象 $I$ へ埋め込む単射 $j: C \hookrightarrow I$ が存在する。この単射的対象 $I$ が余生成子でもあることを示す。

任意の相異なる2射 $u, v: X \to Y$ ををとる。 $C$ は余生成子であるから、ある射 $f: Y \to C$ が存在して $f \circ u \neq f \circ v$ となる。 包含射 $j: C \hookrightarrow I$ は単射（左簡約可能）であるから、 $$j \circ (f \circ u) \neq j \circ (f \circ v) \iff (j \circ f) \circ u \neq (j \circ f) \circ v$$ となる。したがって、射 $g = j \circ f : Y \to I$ が存在して $g \circ u \neq g \circ v$ となる。ゆえに $I$ は余生成子である。したがって $I$ は単射的余生成子である。

[ $G(I)$ の単射性の証明 ]
$\mathcal{C}$ における任意の単射 $m: A \hookrightarrow B$ と射 $f: A \to G(I)$ をとる。随伴 $F \dashv G$ による全単射 $\Phi_{A, I}: \text{Hom}_{\mathcal{D}}(F(A), I) \xrightarrow{\cong} \text{Hom}_{\mathcal{C}}(A, G(I))$ により、 $f$ は $\mathcal{D}$ における射 $\hat{f} = \Phi_{A, I}^{-1}(f) : F(A) \to I$ に対応する。
仮定より $F$ は単射を保つため、 $F(m): F(A) \hookrightarrow F(B)$ は $\mathcal{D}$ における単射である。 $I$ は $\mathcal{D}$ において単射的対象であるため、 $\hat{h} \circ F(m) = \hat{f}$ を満たす射 $\hat{h}: F(B) \to I$ が存在する。 これに対応する $\mathcal{C}$ の射 $h = \Phi_{B, I}(\hat{h}): B \to G(I)$ をとると、随伴の自然性（ $\Phi$ の可換性）から、 $$h \circ m = \Phi_{B,I}(\hat{h}) \circ m = \Phi_{A,I}(\hat{h} \circ F(m)) = \Phi_{A,I}(\hat{f}) = f$$ が成立する。したがって $G(I)$ は $\mathcal{C}$ の単射的対象である。

[ $G(I)$ の余生成性の証明 ]
$\mathcal{C}$ における相異なる2射 $u, v: X \to Y$ ををとる。仮定より $F$ は忠実（単射写像）であるため、 $F(u) \neq F(v) : F(X) \to F(Y)$ である。
$\mathcal{D}$ において $I$ は余生成子であるため、ある射 $k: F(Y) \to I$ が存在して $k \circ F(u) \neq k \circ F(v)$ となる。 随伴により $k$ に対応する射 $g = \Phi_{Y, I}(k): Y \to G(I)$ をとると、随伴の自然性より、 $$\Phi_{X,I}^{-1}(g \circ u) = k \circ F(u) \neq k \circ F(v) = \Phi_{X,I}^{-1}(g \circ v)$$ となる。 $\Phi_{X,I}^{-1}$ は全単射であるから、 $g \circ u \neq g \circ v$ である。したがって $G(I)$ は余生成子である。以上より $G(I)$ は単射的余生成子である。

条件 (1) により $C$ は単射的対象であるため、 $C$ が余生成子であることを示せばよい。

相異なる2射 $u, v: X \to Y$ をとる。条件 (2) により、ある集合 $J$ と単射 $m: Y \hookrightarrow C^J$ が存在する。 $m$ は単射であるから $m \circ u \neq m \circ v : X \to C^J$ である。

直積 $C^J = \prod_{j \in J} C$ の射影射を $p_j: C^J \to C$ （ $j \in J$ ）とする。直積の普遍性により、射 $m \circ u$ と $m \circ v$ は各成分への射影射との合成 $\{ p_j \circ m \circ u \}_{j \in J}$ および $\{ p_j \circ m \circ v \}_{j \in J}$ によって完全に一意に定まる。 したがって、すべての $j \in J$ について $p_j \circ m \circ u = p_j \circ m \circ v$ であると仮定すると $m \circ u = m \circ v$ となり矛盾する。 ゆえに、ある $j_0 \in J$ が存在して $p_{j_0} \circ m \circ u \neq p_{j_0} \circ m \circ v$ となる。

合成射 $f = p_{j_0} \circ m : Y \to C$ をとれば、 $f \circ u \neq f \circ v$ となり、 $C$ は $u$ と $v$ を分離する。したがって $C$ は余生成子であり、単射的余生成子である。

関手が左随伴であるための必要条件は、すべての余極限（特に余積 / 直和）を保つことである。

$\mathbf{CHaus}$ における対象の無限族 $\{X_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ の余積（直和） $\coprod^{\mathbf{CHaus}} X_\lambda$ は、位相空間としての非交和 $\coprod X_\lambda$ の Stone-Čech コンパクト化 $\beta \left( \coprod_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda \right)$ によって与えられる。

一方、集合の圏 $\mathbf{Set}$ における余積は単純な非交和 $\coprod U(X_\lambda)$ である。 $\Lambda$ が無限集合であるとき、非交和空間の Stone-Čech コンパクト化の台集合の濃度は、元の非交和の台集合の濃度よりも真に大きくなる（例えば、可算無限個の1点空間の余積は $\mathbf{CHaus}$ において超限超フィルター空間 $\beta \mathbb{N}$ となり、その濃度は $2^{2^{\aleph_0}}$ であるが、 $\mathbf{Set}$ での余積の濃度は $\aleph_0$ である）。

したがって、$U\left( \coprod^{\mathbf{CHaus}} X_\lambda \right) \not\cong \coprod U(X_\lambda)$ であり、 $U$ は余積を保たない。ゆえに $U$ は左随伴を持ち得ない。

圏 $\mathbf{Seq}$ から集合の圏への忘却関手 $U:\mathbf{Seq}\to\mathbf{Set}$ を考える。関手 $U$ は台集合と写像をそのまま取り出すため忠実である。 $\mathbf{Seq}$ における単射は1対1連続写像であり、 $U$ は単射を保つ。

$U$ が左随伴関手であることを示すため、右随伴関手 $G:\mathbf{Set}\to\mathbf{Seq}$ を構成する。各集合 $S \in \mathbf{Set}$ に対し、 $G(S)$ を「 $S$ 上に密着位相（開集合は $\varnothing$ と $S$ のみ）を入れた位相空間」と定義する。

[1. 密着空間 $G(S)$ が列型空間であることの証明]
$G(S)$ 内の任意の点列 $(x_n)_{n=1}^\infty$ と任意の点 $x \in S$ をとる。 $x$ の開近傍は全空間 $S$ のみであり、点列のすべての項は $S$ に属するので、定義により任意の点列は空間内のすべての点に収束する。
ここで、 $A \subset S$ を「列に開」な部分集合とする。 $A \neq \varnothing$ と仮定し、元 $a \in A$ をとる。任意の点 $y \in S$ に対し、定数点列 $x_n = y \,(\forall n)$ を考える。前述の通りこの点列は $a \in A$ に収束する。 $A$ は列に開であるから、ある $N$ で $n \ge N \implies x_n = y \in A$ となる。したがって $y \in A$ であり、 $A = S$ である。 ゆえに $G(S)$ の列に開な集合は $\varnothing$ と $S$ のみであり、これは密着位相の開集合と完全に一致する。したがって $G(S)$ は列型空間である。

[2. 随伴性 $U \dashv G$ の証明]
任意の列型空間 $X \in \mathbf{Seq}$ と集合 $S \in \mathbf{Set}$ に対し、集合写像 $f: U(X) \to S$ をとる。 $G(S)$ の開集合は $\varnothing$ と $S$ のみであり、逆像は $f^{-1}(\varnothing) = \varnothing$ 、 $f^{-1}(S) = X$ であって、これらは常に $X$ の開集合である。したがって、任意の写像 $f$ は連続写像 $f: X \to G(S)$ となる。 これにより自然な全単射 $\text{Hom}_{\mathbf{Set}}(U(X), S) \cong \text{Hom}_{\mathbf{Seq}}(X, G(S))$ が確立され、 $U \dashv G$ である。

[3. 定理 5.1 の適用による結論]
以上により、忘却関手 $U: \mathbf{Seq} \to \mathbf{Set}$ は「忠実であり、単射を保つ左随伴関手」である。 集合の圏 $\mathbf{Set}$ において、2点集合 $\{0, 1\}$ は単射的余生成子である（例 1）。 したがって随伴移行定理（定理 5.1）により、右随伴関手による像 $G(\{0, 1\})$ （すなわち2点密着空間）は、列型空間の圏 $\mathbf{Seq}$ における単射的余生成子である。